급수의 수렴과 발산 판정법 (4)

 

이번에는 자주 쓰이는 판정법은 아니지만 몇 가지 자잘한 판정법을 소개해보려고 한다.

 

1. 쿠머 판정법(Kummer test)

 

쿠머 판정법은 모든 항이 양수인 수열(sequence) $a_n$에 대해서 다른 보조 수열(auxiloary sequence) ${\zeta }_n>0$이 있어서 이 보조 수열을 응용해서 $a_n$의 급수(series)의 수렴성을 판정한다.

 

구체적으로 다음과 같은 부등식이 성립한다면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$은 수렴한다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}({\zeta }_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-{\zeta }_{n+1})>0\end{array}$$

이때 $lim inf$에 대해서는 지난 글에서 간단하게 설명했었다.

 

또한 만약 보조 함수의 역수로 이루어진 급수가 발산할 경우 다음 부등식이 성립하면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$은 발산한다.

$$\text{for}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\zeta }_n}\to \text{diverge}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}({\zeta }_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-{\zeta }_{n+1})<0\end{array}$$

 

식 (1)이 성립하는 경우먼저 보도록 하자. 이 경우 다음과 같은 상수 $c$가 존재한다.
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathrm{\exists }c\text{so that}0<c<{\zeta }_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-{\zeta }_{n+1}\end{array}$$

이제 식 (3)에서 보조 수열이 양수였기 때문에 다음과 같이 정리가 가능하다.
$$\begin{array}{}\text{(4)}& 0<s=c{a}_{n+1}<{\zeta }_n{a}_n-{\zeta }_{n+1}{a}_{n+1}\end{array}$$

$b_n={\zeta }_n{a}_n$이라는 또다른 수열을 정의하면 식 (4)의 관계에 의해 $b_n$은 단조 감소(monotonous decrease) 수열임을 알 수 있다.
$$\begin{array}{}\text{(5)}& b_{n+1}+s<b_n\end{array}$$

그러나 수열 $b_n$은 양수 수열끼리의 곱이기 때문에 반드시 양수이고 따라서 이 단조 감소 수열은 어떤 양수로 수렴한다.

따라서 식 (4)에서 급수를 만들면 다음과 같이 된다.
$$\begin{array}{}\text{(6)}& 0<\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}c{a}_{k+1}<\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(b_k-b_{k+1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n(b_k-b_{k+1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(b_1-b_n)\end{array}$$

식 (6)의 가장 오른쪽 식은 수렴하기 때문에 비교 판정법(comparison test)에 의해서 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴함을 알 수 있다.

발산은 식 (2)가 성립하는 경우 다음 부등식이 성립한다.
$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\zeta }_n{a}_n<{\zeta }_{n+1}{a}_{n+1}\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(8)}& \frac{{\zeta }_n}{{\zeta }_{n+1}}<\frac{a_{n+1}}{a_n}\end{array}$$

식 (8)을 응용해서 다음과 같이 정리할 수 있다.
$$\begin{array}{}\text{(9)}& \frac{a_{N+1}}{a_N}\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdots \frac{a_{N+n}}{a_{N+n-1}}=\frac{a_{N+n}}{a_N}>\frac{{\zeta }_N}{{\zeta }_{N+1}}\frac{{\zeta }_{N+1}}{{\zeta }_{N+2}}\cdots \frac{{\zeta }_{N+n-1}}{{\zeta }_{N+n}}=\frac{{\zeta }_N}{{\zeta }_{N+n}}\end{array}$$
$$\begin{array}{}\text{(10)}& a_{N+n}>a_N{\zeta }_N\frac{1}{{\zeta }_{N+n}}\end{array}$$

식 (10)을 이용해서 급수를 만들면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\zeta }_n}$이 발산함과 비교 판정법에 의해 $a_n$이 발산함을 알 수 있다.
$$\begin{array}{}\text{(11)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{N+n}>a_N{\zeta }_N\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\zeta }_{N+n}}\end{array}$$

 

 

2. 베르트랑 판정법(Bertrand test)

 

베르트랑 판정법은 판정하고자 하는 수열 $a_n$에 대해 다음 부등식이 성립하면 수렴한다.

$$\begin{array}{}\text{(12)}& r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\ln n(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1)>1\end{array}$$

 

다음 부등식이 성립하면 발산한다.

$$\begin{array}{}\text{(13)}& R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\ln n(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1)<1\end{array}$$

 

베르트랑 판정법의 증명은 쿠머 판정법을 이용해서 진행한다.

먼저 쿠머 판정법에서 ${\zeta }_n=n\ln n$으로 놓으면 수렴하는 수열의 경우 다음 부등식이 성립한다.
$$\begin{array}{}\text{(14)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(n\ln n\frac{a_n}{a_{n+1}}-(n+1)\ln (n+1))>0\end{array}$$

이제 좌변의 수열 식을 다음과 같이 변형해보자.
$$\begin{array}{ccc}n\ln n\frac{a_n}{a_{n+1}}-(n+1)(\ln n+\ln (1+\frac{1}{n}))& =& n\ln n\frac{a_n}{a_{n+1}}-(n+1)\ln n-\ln {(1+\frac{1}{n})}^{n+1}\\ & =& \ln n(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1)-\ln {(1+\frac{1}{n})}^{n+1}\end{array}$$

이때 다음과 같은 부등식이 성립한다. (${(1+\frac{1}{n})}^{n+1}>1$)을 사용함.
$$\begin{array}{}\text{(15)}& \ln n(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1)-1>\ln n(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1)-\ln {(1+\frac{1}{n})}^{n+1}\end{array}$$

이제 식 (15)와 식 (14)를 응용하면 다음 식이 성립한다.
$$\begin{array}{}\text{(16)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\ln n(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1)>1\end{array}$$

베르트랑 판정법은 쿠머 판정법의 한 예시로 볼 수 있다.

따라서 발산에 관련해서도 ${\zeta }_n=n\ln n$의 역수로 이루어진 급수가 발산함은 비율 판정법 등을 통해서 확인할 수 있고 수렴과 같은 방법을 거쳐서 발산을 증명할 수 있다.

 

 

3. 가우스 판정법(Gauss test)

 

가우스 판정법은 $a_n$이 양수인 수열이며 $p\in \mathbb{R}$, $r>1$이며 마지막으로 $B_n$이 실수이면서 유계(bounded)인 수열일 경우 다음 관계식을 통해 판정한다.

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{p}{n}+\frac{B_n}{n^r}\end{array}$$

 

이때 $p>1$이면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴하고 $p\le 1$이변 발산한다. 이때 위의 다른 판정법과 달리 $p=1$인 경우도 포함되어 있다.

 

먼저 $p>1$인 경우 식 (17)을 다음과 같이 변형해보자.
$$\begin{array}{}\text{(18)}& n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=p+\frac{B_n}{n^{r-1}}\end{array}$$

$p>1$이고 $B_n$의 부호와 관계 없이 유계이기 때문에 $\frac{B_n}{n^{r-1}}$은 감소 수열이 된다. 따라서 충분히 큰 $n$에 대해서는 다음과 같은 부등식이 만족한다.
$$\begin{array}{}\text{(19)}& n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=p+\frac{B_n}{n^{r-1}}>1\end{array}$$

양변에 하극한(lower limit)을 취해보면
$$\begin{array}{}\text{(20)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(p+\frac{B_n}{n^{r-1}})=p>1\end{array}$$

따라서 지난 '급수의 수렴과 발산 판정법 (3)'에서 다뤘던 라베 판정법(Raabe test)에 의해서 $a_n$이 수렴함을 알 수 있다. 따라서 $p>1$인 경우 $a_n$이 수렴함을 알 수 있다.

마찬가지로 $p<1$인 경우도 똑같은 과정을 거쳐서 발산함을 알 수 있다.

$p=1$인 경우 식 (15)를 다음과 같이 바꿔쓰자.
$$\begin{array}{}\text{(21)}& n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1=\frac{B_n}{n^{r-1}}\end{array}$$

이제 식 (21)의 양변에 $lnn$을 곱해보면 다음과 같다.
$$\begin{array}{}\text{(22)}& \ln n(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1)=\frac{B_n}{n^{r-1}}\ln n\end{array}$$

식 (22)의 양변에 상극한(upper limit)을 취해보면
$$\begin{array}{}\text{(23)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}[\ln n(n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1)]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}(\frac{B_n}{n^{r-1}}\ln n)=0<1\end{array}$$

따라서 베르트랑 판정법에 의해서 $p=1$인 경우 $a_n$이 발산함을 알 수 있다.

 

급수의 수렴과 발산 판정법 (3)