운동량 보존 법칙

이번에는 운동량 보존 법칙(momentum conservation law)에 대해 다뤄보려고 한다. 사실 나는 운동량 보존 법칙이 작용-반작용의 법칙(action-reactio law)를 만들어낸다고 생각한다.

 

다시 말해서 운동량 보존 법칙이 성립하기 때문에 뉴턴 3법칙이 성립한다고 생각하는데 많은 경우는 뉴턴 3법칙을 이용해 운동량 보존 법칙을 유도한다. 먼저 이 방법을 따라가 보도록 하겠다.

 

가장 간단하게 두 물체가 충돌하는 경우를 생각해보자. 뉴턴은 중력 등에 대해서도 3법칙이 옳다는 것을 보였지만 거기까지 하는 것은 너무 과하다고 생각이 들어 충돌만 생각해보려고 한다.

 

 

운동하고 있는 두 물체 A와 B가 충돌하는 경우를 생각해보자. 이때 A가 B에 작용하는 힘은 B의 운동량을 변화시킨다. 따라서 B의 운동량 변화와 뉴턴 2법칙을 이용해 작용 힘을 구할 수 있다.

$$ \vec{F}_{AB} = \frac{d \vec{p}_B}{dt} \tag{1} $$

 

이때 뉴턴 3법칙은 물체 B는 A가 가한 힘에 대해 정확히 같은 크기의 힘을 반대 방향으로 A에게 가한다. 이를 반작용이라고 하며 이 힘은 A의 운동량을 변화시킨다.

$$ \vec{F}_{BA} = \frac{d \vec{p}_A}{dt} \tag{2} $$

 

그리고 뉴턴 3법칙에 의해 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$ \vec{F}_{AB} = \frac{d \vec{p}_B}{dt} = - \vec{F}_{BA} = - \frac{d \vec{p}_A}{dt} \tag{3} $$

 

1차원 문제로 이 문제를 간략하게 바꿔보자. 실제 3차원 문제에서도 힘의 방향을 따라 축(axis)을 설정하면 1차원 문제로 축소시킬 수 있다.

$$ F_{AB} = \frac{d p_B}{dt} = - F_{BA} = - \frac{d p_A}{dt} \tag{4}$$

 

이제 이 식의 양변을 정리하고 적분하면 다음과 같은 과정을 거친다.

$$ \int^{t_f}_{t_i} \frac{d p_{B}}{dt} dt = p_B (t_f) - p_B (t_i) = - \int^{t_f}_{t_i} \frac{d p_A}{dt} dt = p_A (t_i) - p_A (t_f) \tag{5}$$

여기서 \( t_i \)는 운동량을 측정하기 시작한 시간, \( t_f \)는 측정을 마친 시간을 의미한다.

 

식 (5)를 이항해서 정리하면 다음과 같이 정리된다.

$$ p_A (t_f) + p_B (t_f) = p_A (t_i) + p_B (t_i) \tag{6}$$

 

따라서 시간이 지나도 총합 운동량이 변하지 않는다는 것을 알 수 있다.

 

 

또는 식 (3)을 변형해서 다음과 같이 이해할 수 있다.

$$ \frac{d \vec{p}_B}{dt} + \frac{d \vec{p}_A}{dt} = \frac{d (\vec{p}_A + \vec{p}_B)}{dt} = 0 \tag{7}$$

 

식 (7)은 모든 시간에 대해 물체 A와 물체 B의 운동량은 변화율이 \(0\)이라는 것을 알 수 있다. 따라서 운동량이 변하지 않는다는 것을 알 수 있다.

 

식 (7)을 적분하면 \( \vec{p}_A + \vec{p}_B = C\)라는 어떤 상수 함수가 됨을 알 수 있다. 물리적으로 말이 되도록 적분 상수(integral constant)를 총 운동량으로 놓으면 \( \vec{p}_{tot} = \vec{p}_A + \vec{p}_B \)라고 할 수 있다. 따라서 총 운동량이 변하지 않는다는 식으로 바꿀 수 있다.

$$\frac{d \vec{p}_{tot}}{dt} = 0 \tag{8} $$

 

 

그러나 사실 이 모든 과정은 뉴턴 3법칙이 옳다는 과감한 가정을 거쳐서 왔다. 그리고 나는 지난 글에서 운동량 보존 법칙을 이용해서 뉴턴 3법칙을 유도했으며 정확히는 뉴턴이 프린키피아(principia)에서 그런 방식으로 접근했음을 언급했다.

 

내 방법의 문제점은 뉴턴 3법칙이 운동량 보존 법칙을 유도하고 운동량 보존 법칙이 뉴턴 3법칙을 유도하는 순환 논증에 빠졌다.

 

그래서 다른 방법으로 운동량 보존 법칙을 이해할 필요가 생긴다. 사실 이 방법을 쓰기 위해선 물리를 기술하는 다른 방법 중 하나인 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)가 필요하다.

 

자세한 과정은 라그랑주 역학을 설명한 다음에 다룰 생각이지만 결론만 먼저 말하자면 운동량이 보존되는 원인은 우리가 공간이 균질성(homogeneity)를 가지고 있기 때문이다.

 

 

수학적으로 말하자면 우리의 운동 법칙이 공간 좌표에 의존하지 않기 때문에 발생한다. 만약 퍼텐셜과 같은 항이 들어가서 의존성이 생겨버리면 운동량이 보존이 안되고 이는 퍼텐셜 차이에 의해 힘이 발생하기 때문으로 이해할 수 있다.

 

이러한 공간의 균질성을 다른 말로는 병진 대칭성(translation symmetry)이라고 부른다. \( x \)에서 운동 방정식(equation of motion)과 \( a \)만큼 이동한 \( x + a\)에서의 운동 방정식이 완벽하게 동일한 경우를 의미한다.

 

이러한 성질을 뇌터의 정리(Noether's theorem)에 적용하면 운동량 보존 법칙은 자연스럽게 나타나는 성질이 된다.