급수의 수렴과 발산 판정법 (3)

수리물리

급수의 수렴과 발산 판정법 (3)

방구석물포자 2023. 1. 9. 19:52

1. 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)

코시의 응집 판정법은 단조 감소 수열의 경우 몇 개의 항의 특성을 이용해서 수렴과 발산을 판정하는 방법이다. 대표적으로 다음과 같은 조화 급수(harmonic series)를 증명하는데 쓰인다. 아니 오히려 조화 급수 때문에 유명한 판정법일 수도 있다.

$\begin{matrix} (1) & \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = diverge \end{matrix}$

다음과 같이 급수를 나열한 식을 생각해보자.

$\begin{matrix} (2) & \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} \dots \end{matrix}$

이때 2의 제곱수로 이루어진 항을 이용해 다음과 같은 구성의 급수를 추가로 생각해 볼 수 있다.

$\begin{matrix} (3) & a_{1} + a_{2} + a_{2} + a_{4} + a_{4} + a_{4} + a_{4} + \dots \end{matrix}$

식 (3)에 나오는 급수가 발산한다면 식 (2)의 급수가 발산하고 식 (3)의 급수가 수렴하면 마찬가지로 수렴한다.

다음과 같은 세 부분합을 생각해보자.
$\begin{matrix} (4) & A_{n} = \sum_{k = 1}^{2^{n + 1} - 1} a_{k} = a_{1} + (a_{2} + a_{3}) + (a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7}) + \dots \end{matrix}$
$\begin{matrix} (5) & B_{n} = \sum_{k = 0}^{n} 2^{k} a_{2^{k}} = a_{1} + (a_{2} + a_{2}) + (a_{4} + a_{4} + a_{4} + a_{4}) + \dots \end{matrix}$
$\begin{matrix} (6) & C_{n} = 2 \sum_{k = 1}^{2^{n}} a_{k} = (a_{1} + a_{1}) + (a_{2} + a_{2}) + (a_{3} + a_{3} + a_{4} + a_{4}) + \dots \end{matrix}$

단조 감소 수열의 경우 $a_{n} > a_{n + 1}$ 이므로 식 (4), (5), (6)에서 같은 개수의 묶음끼리 대소 관계를 비교해보면 다음과 같은 부등식이 성립한다는 것을 알 수 있다.
$\begin{matrix} (7) & A_{n} \leq B_{n} \leq C_{n} \end{matrix}$

이제 부등식의 양 변에 극한을 취하게 되면 다음과 같은 부등식이 만들어진다.
$\begin{matrix} (8) & \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \leq \sum_{k = 0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} \leq 2 \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \end{matrix}$

식 (8)의 부등식에서 $\sum_{k = 0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}$ 가 발산한다면 $2 \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ 가 발산함을 알 수 있고 수렴의 경우는 반대로 $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ 가 수렴함을 통해 알 수 있다.

2. 라베 판정법(Raabe test)

그림에서와 같이 빨간색으로 표현된 한 구간 내에서 어떤 수열의 최댓값들을 $sup a_{n}$ , 최솟값(minimum)들을 $inf a_{n}$ 이라 한다.

이러한 값들을 모아서 따로 수열을 만들 수 있고 그 수열의 극한을 취하는 것을 생각할 수 있는데 이를 상극한(upper limit, $lim sup$ )과 하극한(lower limit, $lim inf$ )이라고 부른다.

라베 판정법은 모든 항이 양수인 어떤 수열 $a_{n}$ 에 대해서 다음과 같은 양을 생각한다.

$\begin{matrix} (9) & S = \underset{n \to \infty}{lim sup} n (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (10) & T = \underset{n \to \infty}{lim inf} n (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1) \end{matrix}$

이때 $S < 1$ 이라면 $a_{n}$ 의 급수는 발산하고 $T > 1$ 이라면 수렴한다.

먼저 다음과 같은 수열을 정의해보자.
$\begin{matrix} (11) & b_{n} = n (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1) \end{matrix}$

만약 $lim sup b_{n} < 0$ 이라면 $a_{n + 1} > a_{n}$ 이므로 따라서 $a_{n}$ 의 급수는 발산할 수 밖에 없다.

$0 \leq lim sup b_{n} < 1$ 의 경우 $lim sup b_{n} < B < 1$ 인 $B$ 가 존재한다. 따라서 다음과 같은 부등식이 성립한다.
$\begin{matrix} (12) & n (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1) \leq B \end{matrix}$

이 식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$\begin{matrix} (13) & \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} \leq 1 + \frac{B}{n} \end{matrix}$

$n \geq N$ 을 만족하는 $N \in N$ 에 대해 다음 부등식이 성립한다. 테일러 급수(Tayler series)로 전개해서 이해할 수도 있다.
$\begin{matrix} (14) & \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} \leq 1 + \frac{B}{n} \leq e^{\frac{B}{n}} \end{matrix}$
$\begin{matrix} (15) & a_{n + 1} \geq a_{n} e^{- \frac{B}{n}} \geq a_{N} e^{- B (\frac{1}{N} + \dots \frac{1}{n})} \end{matrix}$

그런데 적분 판정법에서 다음과 같은 부등식을 세울 수 있다.
$\begin{matrix} (16) & \sum_{k = N}^{n} \frac{1}{k} \leq \ln n - \ln N + a_{n} = \ln n + C \end{matrix}$
여기서 나머지 항을 $C$ 인 임의의 상수로 만들었다.

따라서 다음과 같은 부등식이 성립한다.
$\begin{matrix} (17) & a_{n + 1} \geq a_{N} e^{- B \ln n + C} = C a_{N} {(\frac{1}{n})}^{B} \end{matrix}$

이때 $B < 1$ 일 경우 해당 급수는 발산함이 알려져있다.

반대의 경우는 결국 식 (17)의 경우에서 $B > 1$ 인 경우이고 이 경우는 수렴함이 알려져있다.