뉴턴 역학의 기초 - 뉴턴의 운동 3법칙(작용-반작용의 법칙)

이번에는 뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of dynamics)의 마지막 작용-반작용의 법칙(action-reaction law)에 대해서 다룬다. 사실 법칙보단 정의에 가까웠던 1, 2법칙과 달리 3법칙은 정말로 법칙이라고 부를 수 있다.
뉴턴 제 3법칙, 작용-반작용의 법칙은 다음과 같다.
모든 작용에는 항상 방향은 반대이고 크기가 같은 반작용이 존재한다. 혹은 두 물체 사이의 작용은 항상 서로 같으며 반대 방향이다.
흔히 3법칙이야 말로 실제 물리적인 세계관을 제공해주는 법칙이라고 말하며 뉴턴의 운동 법칙의 모든 것을 담고 있다고 한다.
좀 더 자세히 뉴턴 3법칙을 다뤄보자. 어떤 한 작은 입자 A가 다른 입자 B에 힘을 가한다고 해보자. 가장 좋은 이해 방법으로 충돌이 있다. A가 B에 충돌해 B의 운동 상태를 바꿔버린다. 지난 글들에서 힘은 운동량(momentum) 변화의 원인이었다.
뉴턴 3법칙은 이 경우 B는 힘을 받는 동시에 자기가 받은 힘과 완벽하게 동일한 크기의 힘을 A를 밀어내는데 발휘한다. 이때 A가 B에 충돌하면서 가한 힘을 작용(action), B가 반발하며 밀어내는 힘을 반작용(reaction)이라고 부른다.

사실 잘 생각해보면 이 3법칙이 맞아야하는 이유는 적어도 뉴턴의 문장 안에서는 찾을 수 없다. 우리가 많은 경우 3법칙이 맞다고 배웠기 때문에 절대적인 사실로서 받아들이지만 사실 3법칙은 뉴턴 역학의 가정에 가깝다고 볼 수 있다. 즉, 3법칙이 성립한다고 믿는다란 의미다.
3법칙을 사실로 받아들이는 가장 큰 이유는 운동량 보존 법칙(momentum conservation law)이 성립하기 때문이다. 이 법칙이야말로 물리학의 더 본질적인 믿음이라고 할 수 있다. 하지만 많은 경우 마치 3법칙이 운동량 보존 법칙을 만들어내는 것 처럼 말하기도 한다.
뉴턴은 한 물체가 다른 물체에 힘을 가해 운동을 변화시킬 경우 같은 변화를 겪는다는 점을 들어서 3법칙을 주장했다. 뉴턴의 시대에는 아직까지 벡터(vector)의 개념이 확립되지 않았기 때문에 엄밀한 계산을 보여주지는 못했지만 어느정도 운동량 보존 법칙의 대한 인식은 있었다.

운동량 보존 법칙에 대해서는 다음 기회에 다루기로 하고 이번 글에서는 뉴턴 3법칙에 좀 더 집중해보자. 두 물체의 충돌 사례를 고려해보면 다음과 같은 방정식이 성립한다는 것을 알 수 있다.
이때
이제 여기에 뉴턴 2법칙에서 정의한 힘을 사용해보자. 작용은 A 입자가 B 입자에 가한 힘이므로 B 입자의 운동량을 변화시킬 것이며 반작용은 B 입자가 가한 힘이므로 A 입자의 운동량을 변화시킬 것이다.
이번엔 운동량과 가속도(acceleration)의 정의를 이용해서 식을 바꿔보자.
마지막으로 가속도의 방향을
식 (4)를 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

식 (5)의 결과를 이용해서 뉴턴 3법칙을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
만약 두 물체가 이상적인 고립계(isolated system)에 있다면 이 물체들의 가속도는 항상 서로 반대 방향이며 일정한 비율을 가진다. 이때 이 일정한 비율은 두 물체의 질량비의 역수로 주어진다.
따라서 우리가 만약
따라서 가속도를 어떻게 측정할 것이냐가 중요한 문제점으로 부상하게 된다. 무엇을 기준으로 잡아야 할까?
이 질문은 올바른 기준계(reference frame)가 무엇인지에 대한 질문으로 바뀌게 되며 이러한 논의를 전자기학에서 거치다보면 결국 상대성 이론(relativity theory)가 나타나게 된다.