뉴턴 역학의 기초 - 뉴턴의 운동 2법칙(가속도 법칙)
이번 글에서는 뉴턴의 제 2법칙인 '가속도 법칙'(acceleration law)을 다룬다. 한국의 많은 교육 과정에서 가속도 법칙이라고 부르지만 사실 본질적으로 이 법칙은 가속도를 설명한다고 보긴 어렵다. 번역을 좀 바꿨으면 하지만 일단은 널리 알려진 이름으로 부를 것이다.
뉴턴 제 2법칙, 가속도 법칙은 다음과 같다.
운동의 변화는 물체에 가해진 힘에 비례하며 변하의 방향은 힘의 방향에 의존한다.
지난 글에서도 계속 강조되는 것은 물체의 운동과 운동을 변화시키는 원인에 대해서였다. 관성의 법칙은 물체에 힘이 작용하지 않을 경우 물체가 자신의 운동을 유지한다는 법칙이었던 반면 가속도 법칙은 힘이라는 운동 변화 요인이 들어오면 물체가 어떻게 반응하는가를 알려준다.
그런데 우리는 운동을 운동량(momentum)이라고 하는 물리량으로 대변하기로 했다. 물체의 시간에 대한 위치 변화와 변화에 저항하는 정도인 질량(mass)을 곱해서 만든 물리량이다.
$$ \vec{p} = m \frac{d \vec{x}}{dt} = m \vec{v} \tag{1}$$
가속도 법칙은 어떤 운동 상태를 가진 물체가 힘을 받아서 변해서 운동 상태가 변한 상황을 가정한다. 이때 힘은 오롯이 운동 상태를 변화하는 원인이기 때문에 우리는 반대로 운동의 변화를 통해서 힘을 추적할 수 있다.
$$\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \tag{2}$$
뉴턴은 이러한 방식으로 힘을 정의했다. 이러한 힘의 정의 방식은 본질적으로 뉴턴 1법칙과 긴밀한 관계가 있음을 생각해볼 수 있다. 또한 1법칙과 2법칙은 각각 관성과 힘을 정의(define)하는 것이기 때문에 사실 '법칙'이라고 부르기엔 미묘한 느낌이 있다.
사실 식 (2)가 가속도 법칙의 본질을 잘 담고있다고 말할 수 있다. 하지만 가속도 법칙이라는 이름에서 보듯이 세간에 널리 알려진 공식과는 사뭇 다른 형태를 가지고 있다.
이는 우리가 많은 경우 운동량에서 질량이 변하지 않는다고 보기 때문이다. 좀 더 근본적으로 봤을 때 물체의 질량은 고유한 성질이며 다체계(many body system)의 경우 총합 질량은 개별 질량의 합으로 주어지기 때문이다.
$$ m_{tot} = m_1 + m_2 + \cdots + m_n = \sum_{k = 1}^n m_k \tag{3}$$
따라서 우리는 힘을 가했을 때 물체의 운동 변화는 사실 속도의 변화라는 사실을 유추해 볼 수 있다. 만약 한 물체가 두 물체로 분리되어 질량이 변한다고 가정하는 것은 물체가 다체계라는 사실을 기억해야 한다. 각각의 파트가 다른 방향을 가지게 된 것에 불과하다.
식 (3)을 이용해서 식 (2)를 다시 쓴다면 다체계의 경우 다음과 같이 식이 주어진다.
$$\vec{F} = \frac{d}{dt} \left( \sum_{k=1}^n m_k \vec{v}_k \right) = \sum_{k=1}^n m_k \frac{d \vec{v}_k}{dt} \tag{4} $$
식 (4)에서 보면 질량은 미분에서 어떠한 역할도 하지 않는 상수가 됐다.
이번에는 식을 더 간단하게 단일 입자에 대한 식으로 바꿔보면 다음과 같이 정리할 수 있다.
$$ \vec{F} = \frac{d (m \vec{v})}{dt} = m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{a} \tag{5}$$
여기서 가속도의 정의를 이용했다. \( \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} \)
맨 마지막 관계식인 \( \vec{F} = m \vec{a} \)는 세상에서 가장 유명한 공식 중 하나로 우리가 들어본 가속도 법칙 공식이 맞을 것이다.
사실 식을 이 형태로 쓴 사람은 뉴턴이 아니다. 오히려 뉴턴은 2법칙에서 힘을 정의하고자 했기 때문에 식 (1)과 같은 형태를 사용했다. 식 (5)의 형태를 쓴 사람은 뉴턴 이후 오일러(Euler)라고 한다.
또한 식 (5)를 가속도에 대한 식으로 바꾸어 2법칙이 가속도를 의미하는 법칙이라고도 설명하는 것 같은데 그렇게 썩 좋은 해석 방법이라고는 생각되지 않는다.
$$ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} \tag{6}$$